Una solución sencilla.
El matemático francés Pierre de Fermat escribió un enunciado en 1.637 que decía algo así como...: “…No hay tres números enteros positivos a, b y c que cumplan la ecuación aⁿ + bⁿ = cⁿ para ningún valor entero de n mayor de 2”. No creo que sean las palabras exactas, pero sí: ésa es la idea.
Las excepciones son las
soluciones triviales (0,
1, 1), (1, 0, 1)
y (0, 0, 0), por supuesto.
Los casos n=1
y n=2 ofrecen infinitas soluciones: es
algo que se sabe desde la antigüedad (dice Wikipedia).
Fermat no escribió la demostración de
aquel enunciado porque, al parecer, no
le quedaba bastante espacio en blanco en la página como para que le cupiera.
Tras el fallecimiento de Fermat, el
libro donde escribió el enunciado debió de llegar a otras manos, ávidas por
leer todo lo que el genio había puesto de su puño y letra. Y aquel enunciado suscitó mucha
curiosidad. Pero NADIE parecía ser capaz
de demostrarlo.
El enunciado se hizo famoso por la
aparente dificultad que entrañaba su resolución. Por toda Francia, por Europa y
el mundo entero, muchos matemáticos intentaron probarlo… Y todos fracasaron. Así durante algo más de 350 años.
Hasta que en 1995, el matemático Andrew
Wiles (con la ayuda de su compañero de profesión Richard Taylor) probó el
enunciado de Fermat en un artículo que hizo público… ¡Era la primera demostración válida y
completa que jamás se había hecho del enunciado!
Debido a ese gran logro, en 2016 Wiles
recibió el Premio Abel (un galardón creado en Suecia para compensar la falta de
un “Nobel de las matemáticas”). Hoy en
día, el enunciado, su demostración y las implicaciones directas se conocen como
“Último Teorema de Fermat-Wiles”. Y las matemáticas siguen avanzando…
¿Veis? Un final feliz.
Mientras
leía esa historia, mi intuición me decía que Fermat –siendo el genio que era-
no pensó en algo extraordinariamente complicado ni tuvo ninguna revelación
asombrosa, sino que lo que se le ocurrió fue algo muy simple (al menos, para
él)… Y que esa fue la razón por la que
no se molestó en escribir su enunciado en ninguna parte.
No sé si conocéis el dicho: “La
ignorancia es muy atrevida”. ¿Que a qué
viene eso? A que una idea de lo más
emocionante se me pasó por la cabeza…
“Bueno, si el enunciado de Fermat tenía una solución muy simple, a lo
mejor yo también soy capaz de encontrarla”.
Durante las últimas tres semanas, he
estado pensando un montón en ello (llenando páginas y páginas de cuaderno con
probatinas mejores y peores, afortunadas o no...) y ahora tengo, estoy seguro,
una solución sencilla para el enunciado de Fermat.
Y sí: es una solución tan, tan, tan sencilla que no
me imagino que muchas, muchas, muchas personas no lo hayan pensado y
descubierto por su cuenta antes que yo también lo hiciera. Vamos, que esto debe de ser algo sabido. Seguro.
Y, si te descuidas, hasta lo cuentan en 1º de Matemáticas…
Entonces, ¿por qué no se aceptó jamás como
demostración? No lo sé… Pero lo sospecho. Supongo que cuando los matemáticos del siglo
XVII trataron de resolver el enunciado de Fermat, rápidamente vieron que podía
tener implicaciones en otros aspectos tanto de la geometría como de la
aritmética; y estas implicaciones darían lugar a otras y… Todo acabó siendo algo muy complejo; con el
paso del tiempo, cada vez más.
Pierre de Fermat era un genio; y tengo la impresión
que justo antes de escribir su enunciado, se le ocurrió la demostración más o
menos de un plumazo: en cosa de minutos, como mucho. Si es que no era algo que supiera ya.
Yo no soy un genio; yo sólo soy el bueno de
Carlos… Con mi formación antigua –de los
años 80- de maestro de escuela y mi diploma de profe de EGB. Y mi capacidad intelectual es la de una
persona corriente y moliente (de eso, la vida me ha dado pruebas de sobra).
Pero éste es mi blog y esta entrada, el fruto de mi
curiosidad y mis esfuerzos. Rayos, tenía
ganas de contárselo a alguien.
En el resto de esta entrada de blog, me
voy a referir a la expresión del enunciado de Fermat como aⁿ = bⁿ + cⁿ (para lo que los números no llegan a cumplir) o aⁿ ≠ bⁿ + cⁿ para lo que terminan
haciendo.
Algo más… Algo importante, si os digo la verdad.
Fermat estudiaba los números, desde
luego. Pero hay algo clarísimo: lo hacía
a través de las medidas de los lados de los triángulos.
Pensadlo: el enunciado de Fermat viene
a ser una evolución del teorema de Pitágoras…
y los números de los que habla son enteros positivos, simples pero ideales para cumplir como longitudes de los lados de los triángulos.
Así que pensar un montón acerca de
triángulos (y me refiero a todos los triángulos posibles que tengan lados cuyas
medidas sean números enteros positivos) es la manera adecuada para resolver el
enunciado de Fermat, ¿no os parece?
Supongo que no será ninguna sorpresa
que empecemos con…
PRIMER CASO: TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.
a
es la hipotenusa; b, c son los
catetos. Cumplen a > b, a > c.
Tanto
el triángulo como sus valores cumplen la igualdad del teorema de Pitágoras: a² = b² + c².
Calculemos una nueva igualdad
multiplicando ambos miembros (el de la izquierda y el de la derecha) por a…
a · a² = a · (b² + c²) → a³ = ab² + ac²
Dado
que a > b, entonces ab² > b³; dado que a > c, entonces ac² > c³.
Mira: (ab² + ac²) > (b³ + c³) → a³ > (b³ + c³) → a³ ≠ b³ + c³.
Y el mismo razonamiento sirve para
cualquier valor de n desde 4
(incluido) hasta el infinito… Así que
todo triángulo rectángulo cumple que aⁿ
≠ bⁿ + cⁿ.
SEGUNDO
CASO: TRIÁNGULOS ESCALENOS.
Tres lados distintos, a > b > c : todos ellos con medidas que se corresponden con números enteros
positivos (o números naturales).
He dibujado una altura exterior, y.
Para eso, he mostrado también por dónde va la recta sobre la que se
apoya el cateto c (dibujando una
extensión x a continuación de c).
Tanto x como y son números reales positivos (si
naturales, racionales o irracionales… No
es importante).
En
la imagen superior, vemos dos triángulos rectángulos distintos (además del
triángulo escaleno, desde luego). Y
podemos escribir las siguientes igualdades:
b²= x² + y²
a² = (c + x)² + y²
Empecemos
con la de abajo.
a²
= (c + x)² + y² → a² = c² + x² + 2cx + y² →
→
a² = c² + 2cx + x² + y² → a² = c² + 2cx + (x² + y²) →
Y
entonces, sustituimos el contenido del paréntesis con lo que tenemos en la
primera de las dos igualdades de más arriba…
→ a² = c² + 2cx + b² →
→ a² = b² + c² + 2cx
Vamos
a proceder exactamente igual que hemos hecho en el PRIMER CASO: primero,
multiplicamos ambos miembros de la igualdad por a…
a
· a² = a · (b² + c² +2cx) →
→
a³ = ab² + ac² + 2acx
Como a > b → ab² > b³; como a > c → ac² > c³; y 2acx es un número real positivo. Así que…
ab² + ac² + 2acx > b³ +
c³ →
→ a³ > b³ + c³.
Y
el mismo razonamiento se aplica a todos los valores de n desde 4 (incluido) hasta el infinito. El valor real de aⁿ se hará haciendo mayor (y la diferencia con el miembro de la
derecha, más grande) cuanto mayor sea el valor que asignemos al exponente. Así que se cumple el enunciado de Fermat…
Para los triángulos escalenos de lados de medida en enteros positivos a, b, c, se cumple que aⁿ ≠ bⁿ + cⁿ para cualquier valor de n mayor que 2.
Si me permitís… Muchos triángulos rectángulos son triángulos
escalenos, pero no todos.
TERCER
CASO: TRIÁNGULOS ISÓSCELES.
Caso 3.1:
b = c, a < b, a < c; a, b, c, enteros positivos.
Como a < b → a³ < b³; como a
< c → a³ < c³; y si consideramos la suma de ambos, entonces… a³ < b³ + c³.
Por
el mismo razonamiento, a < b → aⁿ
< bⁿ; a < c → aⁿ < cⁿ.
Y entonces… aⁿ < bⁿ + cⁿ → aⁿ ≠ bⁿ + cⁿ.
Ahí, cumpliendo con lo que preveía
Fermat.
Caso
3.2: a = b, c ≠ a, c ≠ b; a, b, c, enteros positivos. y recuerda, a > 0, b > 0, c > 0 (porque cualquier lado de un
triángulo tiene que ser mayor que cero).
Entonces, si intentamos…
aⁿ
= bⁿ + cⁿ →
→
aⁿ – bⁿ = cⁿ → 0 = cⁿ
…Lo que es imposible (creo recorder que
a ese método de probar cosas se le llamaba “… de reducción al absurdo”).
Por lo que aⁿ ≠ bⁿ + cⁿ.
Caso
3.3: b = c, a > b, a > c;
a, b, c, enteros positivos.
Os
vais a reír: aquí, la demostración es una copia exacta de lo que he hecho para
los triángulos escalenos (salvo por el hecho de que la imagen de partida con la
que hacemos el razonamiento es diferente)…
Mismo razonamiento, mismas ecuaciones.
b² = x² + y²
a² = (c + x)² + y²
Vamos a desarrollar
la segunda expresión…
a² = c² + x² + 2cx + y²
→
→ a² = c² + 2cx + x² +
y² →
→ a² = c² + 2cx + (x² +
y²)
Y
sustituimos lo que va entre paréntesis con el valor que se indicaba en la
primera expresión de ahí arriba:
a² = c² + 2cx + b² →
→ a² = c² + b² + 2cx →
→ a² = b² + c² + 2cx
Multiplicamos los dos
lados de la igualdad por a…
a · a² = a · (b² + c² +
2cx) →
→ a³ = ab² + ac² + 2acx.
Como
a > b → ab² > b³; y como a
> c → ac² > c³… Además, 2acx es un número real positivo (vamos,
que no hace más que sumar).
ab² + ac² + 2acx > b³ +
c³ →
→ a³ > b³ + c³ → a³ ≠
b³ + c³.
Y
el mismo razonamiento sirve para todos los valores de n desde 4 (incluido) hasta infinito: cuanto mayores sean, mayor será
la diferencia entre aⁿ y (bⁿ + cⁿ). Una vez más, el matemático francés tiene la
razón y se cumple que aⁿ ≠ bⁿ + cⁿ.
---
Una
mera curiosidad: hay triángulos rectángulos que son también triángulos
isósceles. Sus dos lados iguales son los
catetos; el lado distinto, más largo, es la hipotenusa.
Y sí, todos cumplen que aⁿ ≠ bⁿ + cⁿ.
CUARTO
CASO: TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS.
Tres lados, a = b
= c. Justo, tienen la misma longitud
(una medida en números enteros positivos…
O naturales, como más os guste).
Si intentamos aⁿ = bⁿ + cⁿ, entonces aⁿ =
aⁿ + aⁿ → aⁿ = 2aⁿ.
El cero parece la solución para esa igualdad,
pero hey, esperad… Os recuerdo que no
puede ser, porque todos los lados de un triángulo son mayores que cero, ¿de
acuerdo? Una vez más, un imposible.
En este caso (en el que a = b = c y a > 0, b > 0, c > 0), cualquier grupo de números enteros positivos va a cumplir aⁿ ≠ bⁿ + cⁿ si n > 2.
Por lo que todos los triángulos
equiláteros cumplen el enunciado de Fermat.
CONCLUSIÓN:
He probado que todos los posibles
triángulos (sin importar de qué clase) cuyos lados tengan medidas
correspondientes a números enteros positivos cumplen la expresión aⁿ ≠ bⁿ + cⁿ para valores enteros
positivos de n mayores que 2. Es decir, cumplen el enunciado de Fermat.
Y lo he hecho con una solución
sencilla. Sospecho que muy, muy, muy
parecida a lo que se le pasó por la cabeza a Pierre de Fermat justo antes de
escribir su famoso enunciado…
Oh-oh. Pero con eso no he terminado de demostrar el enunciado de Fermat para todas las triadas posibles de enteros positivos. Lo siento, me he dado cuenta a posteriori... Aunque no pasa nada: he escrito otra entrada de blog donde culmino la demostración, esta solución sencilla. Para verla, haz clic aquí.
Gracias por leerme.
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