Algo que se me pasó por alto.

 

Lo siento: se me pasó por alto.

Pensaba que ya lo tenía…  Pero no.

Acababa de demostrar en esta entrada de blog que el enunciado de Fermat se cumple para todos los triángulos posibles –fueran de la clase que fueran- cuyos lados tuviesen por medida números enteros positivos a, b, c (de tal manera que para valores enteros de n > 2 siempre ocurra que aⁿ ≠ bⁿ + cⁿ). 

Lo había hecho en cuatro pasos.  Y supuse que, con eso, estaba todo dicho y hecho.  Que tenía una solución completa y, lo más importante, sencilla (pues si no era sencilla, jamás hubiera podido pensarla y deducirla) del enunciado de Fermat.

Pero ¡qué va!

Me había dejado llevar por el entusiasmo del momento y no me di cuenta de que era necesario llegar más lejos.  Que aún me quedaba algo de trabajo por delante…

Pues resulta que todos los triángulos existentes cumplen una propiedad peculiar: en cada triángulo, todos y cada uno de sus lados deben ser menores que la suma de los otros dos.  Y el lenguaje es estricto: “deben” quiere decir que ocurre por obligación.  Que es un hecho necesario, imprescindible, seguro.

(“Deben de” implicaría probabilidad, cierta incertidumbre.  No es el caso).

Conque si de entre tres enteros positivos, uno de ellos es igual o mayor que la suma de los otros dos… 

Ah, eso hay que estudiarlo. 

QUINTO PASO: NADA DE TRIÁNGULOS… Y UN NÚMERO ENTERO POSITIVO IGUAL A LA SUMA DE OTROS DOS.

Imaginad que quisiéramos dibujar un triángulo de tres lados a, b, c (números enteros positivos, puestos a ir avanzando faena).  Y que uno de ellos, pongamos por ejemplo el a, hubiera de ser igual de largo que la suma de los otros dos lados: es decir, a = b + c.

Resulta imposible.  Con a como base, tiras arcos con un compás desde sus dos extremos con las aberturas de los mismos largos de b y c…  Que coincidirán (se han de cortar) en un punto sobre el propio segmento que es ese lado a.  Un segmento b concatenado a otro segmento c y descansando sobre a, todo parte de la misma recta, ninguna superficie interior posible (ni, desde luego, discernible).  

Así que…  Con los números a, b y c tales que a = b + c no se puede construir un triángulo.

PERO HABRÁ QUE PROBAR SI TAL TRIADA DE NÚMEROS CUMPLE O NO EL ENUNCIADO DE FERMAT ¿no os parece?

Es algo muy simple, en realidad.  Y todo empieza cuando tratamos de ver si cumplen que a² = b² + c²…

Lo sé, lo sé.

“Pero ¿eso no es la expresión del teorema de Pitágoras?  Y el enunciado de Fermat ¿no se refiere a valores de n > 2 para la expresión aⁿ = bⁿ + cⁿ…?

Pues sí, totalmente cierto.  Las dos cosas.

Pero veréis, toda prueba empieza por algún sitio.  Y la nuestra, muy simple, empieza justo por donde os he dicho.  Por favor, confiad en mí un par de minutos más y seguidme la corriente.

Decía que empezásemos por a² = b² + c²: ver si es algo posible o imposible para el caso que nos ocupa.  

Que es uno en que a = b + c...   Entonces a² = (b + c)² = b² + c² + 2bc…  Y como 2bc es un producto de números enteros positivos, su resultado es otro número entero positivo que lo único que hace es sumar.  Por lo cual,

b² + c² + 2bc > b² + c² → a² > b² + c² → a² ≠ b² + c²

Sobre esta verdad se construye el resto de la demostración. 

Como a, b, c son enteros positivos y a = b + c, entonces a > b y a > c...  

Y sabemos que a² = b² + c² + 2bc .  Calculamos a³ = ab² + ac² + 2abc.  Resulta que ab² > b³ y ac² > c³ y encima tenemos 2abc, que es un entero positivo y no hace más que sumar…  así que se cumple ab² + ac² + 2abc > b³ + c³ → a³ > b³ + c³ → a³ ≠ b³ + c³.

Estoy seguro de que ya veis la pauta…

Vamos, que aⁿ > bⁿ + cⁿ.  Y de ahí que aⁿ ≠ bⁿ + cⁿ para todos los números enteros positivos a, b, c tales que a = b + c para un valor entero positivo de n > 2.  El enunciado de Fermat afirmándose en todo su esplendor.

Y aquí…  La cuestión es que si entre los tres enteros positivos a, b y c uno de ellos cumplía la condición de ser igual a la suma de los otros dos, con lo que he contado ya debería estar probado y más que probado, ¿no?  Al número que por sus excesivas dimensiones nos impedía construir un triángulo lo he llamado a; y a siempre será ese número más largo, tanto como los otros dos juntos…

Ay.

Quizá sea porque estamos pasando por el pico de la ola de calor o porque no duermo tantas horas como debería o porque tengo otras preocupaciones…  Pero en vez de dar el asunto por resuelto y zanjado, tengo la impresión de que la cabeza me ha gastado una broma y he considerado necesario probar lo siguiente…

(Y no hacía maldita la falta).

Que también puede verse el caso como que de los tres números enteros positivos a, b, c el que sea igual a la suma de los otros dos no sea a sino b o c: es decir, que ocurra o bien el caso b = a + c  bien el caso c = a + b.  Imagina.  Ay, ay, ay…

Las dos opciones se demostrarían de igual manera…  Y, puestos a elegir uno cualquiera de los dos, voy a usar el de b = a + c.   En fin, ¿por qué no? 

Vamos allá.

En este caso, como b = a + c → b² = (a + c)² = a² + c² + 2ac.

Podemos intentar sustituir ese valor en aⁿ = bⁿ + cⁿ para n > 2 y ver lo que va ocurriendo…

¿Veis?  Se cumplirá que aⁿ < bⁿ + cⁿ  y por tanto, aⁿ ≠ bⁿ + cⁿ.

Y, lo dicho: si queréis probar el caso en que c = a + b, sólo tenéis que cambiar b por c en las expresiones del caso que acabamos de ver, el de b = a + c.

(Que no hace ninguna falta.  De verdad.  En serio).

SEXTO PASO.  YA NOS HEMOS OLVIDADO HACE RATO DE LOS TRIÁNGULOS…  Y TENEMOS TRES NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS DE LOS CUALES UNO ES MAYOR QUE LA SUMA DE LOS OTROS DOS.

Estoy cansado y me duelen las cervicales de tantas horas escribiendo en mi portátil.  Tengo el buen propósito de levantarme cada poco rato y aliviar la presión, pero ¡ja!  ¡Ja-jaja-jajá!

Ese detalle de buena voluntad hacia mi propia persona se me desdibuja y se me despista (esas cosas pasan).  Aguanto un poco más de la cuenta…  Lo sé, no debería.  Y el primero que lo pago y lo noto y lo lamento soy yo, creedme.

Así que ya me disculparéis si éste último paso lo despacho por la vía rápida.

Es muy simple: tres enteros positivos a, b, c, de los que uno es mayor que la suma de los otros dos.  Digamos que es a (y así, ya elegido uno y nada más que uno, no la lío como antes): es decir,  a > (b + c).

Quiero que entendáis esto bien: a es un número entero…  y (b + c) es otro número entero, pero más pequeño que a.

Si elevo tanto a como (b + c) a la misma potencia…  ¿Qué resultado es mayor: aⁿ o (b + c)ⁿ?

Sí, sí, es una cuestión muy simple.  Podéis fiaros de vuestra intuición.

aⁿ > (b + c)ⁿ.  Desde luego que sí.

El truco que pienso usar: ¿Qué sale de (b + c)ⁿ?

Uno está mayor y se le despistan según que fórmulas…  Pero estoy bastante seguro de que de resolver (b + c)ⁿ sale un bⁿ y un cⁿ y, de por medio entre ellos dos, UN MONTÓN DE TÉRMINOS QUE NO HACEN SINO SUMAR y que están formados por productos de números enteros positivos por b y c elevados a distintos y variados exponentes en el rango que va desde uno hasta… No estoy seguro si (n – 1) o n.  Me tira más, muchísimo más, lo primero que lo segundo.  Pero no estoy seguro, no del todo (digamos que sólo al 99%)…  Y el único motivo por el que hoy, aquí y ahora no lo voy a mirar es porque NO ES NECESARIO PARA COMPLETAR NUESTRA DEMOSTRACIÓN.  Que si no...

Tal como yo lo veo, está clarísimo que aⁿ es mayor que bⁿ + cⁿ de largo (que es a lo que iba en el final del párrafo anterior).  O puestos a decir las cosas bien, en este caso aⁿ > bⁿ + cⁿ → aⁿ ≠ bⁿ + cⁿ para valores enteros de n de uno hasta infinito.  De sobra.

Ya.  AHORA SÍ.  Hemos probado que se cumple el enunciado de Fermat para cualesquiera tres enteros positivos a, b, c de tal manera que para valores enteros de n > 2 entonces aⁿ ≠ bⁿ + cⁿ.

DESPEDIDA.

Ha sido emocionante.  Ha sido una lucha larga y agotadora, no os lo voy a negar.  Y me ha encantado y estoy muy, muy contento de haberlo conseguido.  De haber probado por completo el enunciado de Fermat.

¿Sabéis?  De cuando en cuando, uno necesita una victoria.  Aunque al resto del mundo no le importe; no demasiado, eso lo tengo MUY claro.

Ésta, tan pequeña, tan humilde… A mí me sabe a gloria.

 

En Zaragoza, a 11 de agosto de 2025.